Question

14．在多面體ABCDEFG中，四邊形ABCD與CDEF均為正方形，CF⊥平面ABCD，BG⊥平面ABCD，且AB=2BG=4BH．
（1）求證：平面AGH⊥平面EFG；
（2）求二面角D-FG-E的大小的余弦值．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)FH，由題意推導(dǎo)出CD⊥CF，CD⊥GH，EF⊥GH，GH⊥FG，由此能證明面AGH⊥平面EFG．
（2）以DA，DC，DE分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角D-FG-E的大小的余弦值．

解答 證明：（1）連結(jié)FH，由題意知CD⊥CF，
∴CD⊥平面BCFG，
又∵GH?平面BCFG，∴CD⊥GH，
又∵EF∥CD，∴EF⊥GH，
設(shè)AB=a，則BH=$\frac{a}{4}$，BG=$\frac{a}{2}$，
∴GH²=BG²+BH²=$\frac{5{a}^{2}}{16}$，
FG²=（CF-BG）²+BC²=$\frac{5{a}^{2}}{4}$，F(xiàn)H²=CF²+CH²=$\frac{25}{16}{a}^{2}$，
則FH²=FG²+GH²，∴GH⊥FG，
又∵EF∩FG=F，GH⊥平面EFG，GH?平面AGH，
∴平面AGH⊥平面EFG．
（2）∵CF⊥平面ABCD，AD⊥DC，∴以DA，DC，DE分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系
設(shè)AB=4，則D（0，0，0），E（0，0，4），F(xiàn)（0，4，4），G（4，4，2），…（6分）
∴$\overrightarrow{DF}=（0，4，4）$，$\overrightarrow{EF}=（0，4，0）$，$\overrightarrow{FG}=（4，0，-2）$．…（7分）
設(shè)$\overrightarrow{n_1}=（{x_1}，{y_1}，{z_1}）$為平面DFG的一個法向量，則
由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{DF}=0\\ \overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{FG}=0\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}4{y_1}+4{z_1}=0\\ 4{x_1}-2{z_1}=0\end{array}\right.$，取x₁=1，則$\overrightarrow{n_1}=（1，-2，2）$．…（9分）
又設(shè)$\overrightarrow{n_2}=（{x_2}，{y_2}，{z_2}）$為平面DFG的一個法向量，則
由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_2}•\overrightarrow{EF}=0\\ \overrightarrow{n_2}•\overrightarrow{FG}=0\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}4{y_2}=0\\ 4{x_2}-2{z_2}=0\end{array}\right.$，取x₁=1，則$\overrightarrow{n_2}=（1，0，2）$，…（11分）
∴$cos＜\overrightarrow{n_1}，\overrightarrow{n_2}＞=\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}}{{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}}=\frac{5}{{3×\sqrt{5}}}=\frac{{\sqrt{5}}}{3}$，
∴二面角D-FG-E的大小的余弦值為$\frac{{\sqrt{5}}}{3}$．…（12分）

點評 本題主要考查空間直線與平面間的垂直關(guān)系、空間向量、二面角等基礎(chǔ)知識，意在考查空間想象能力、邏輯推理能力，以及轉(zhuǎn)化的思想、方程思想．