Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2ax-b²+16．
（1）若a，b是一枚骰子投擲兩次所得到的點(diǎn)數(shù)，求函數(shù)f（x）無(wú)零點(diǎn)的概率；
（2）如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形內(nèi)均勻地取n個(gè)點(diǎn)P_i（x_i，y_i），若a=x_i，b=y_i（i∈{1，2，…，n}），統(tǒng)計(jì)出使函數(shù)f（x）有兩個(gè)不相等零點(diǎn)的點(diǎn)P_i的個(gè)數(shù)為m，當(dāng)n充分大時(shí)，求圓周率π的近似值（用m，n表示）．

Answer 1

考點(diǎn)：幾何概型

專(zhuān)題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）由題意知本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)發(fā)生包含的所有事件數(shù)是6×6，滿足條件的是使得二次函數(shù)f（x）=x²-2ax-b²+16無(wú)零點(diǎn)，
即滿足△=a²+b²＜16，討論當(dāng)a為1、2、3、4、5、6時(shí)對(duì)應(yīng)的b的值，得到滿足條件的事件數(shù)，得到結(jié)果．
（2）由題意知本題是一個(gè)幾何概型，試驗(yàn)發(fā)生包含的所有事件是正方形區(qū)域面積為4×4=16，滿足條件的是使得二次函數(shù)f（x）=x²-2ax-b²+16有兩個(gè)不相等零點(diǎn)即滿足△=a²+b²＞16，利用幾何概型與古典概型概率關(guān)系得到m，n表示的π的等式，求出π．

解答： 解：（1）由題意知本題是一個(gè)古典概型，
試驗(yàn)發(fā)生包含的所有事件數(shù)是6×6=36，
滿足條件的是使得二次函數(shù)f（x）=x²-2ax-b²+16無(wú)零點(diǎn)，
即滿足△＜0，
△=a²+b²＜16，
共有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2）共有8個(gè)，
∴函數(shù)f（x）無(wú)零點(diǎn)的概率是

8

36

=

2

9

；
（2）由題意知本題是一個(gè)幾何概型，
試驗(yàn)發(fā)生包含的所有事件是正方形區(qū)域面積為4×4=16，
滿足條件的是使得二次函數(shù)f（x）=x²-2ax-b²+16有兩個(gè)不相等零點(diǎn)
即滿足△＞0，即△=a²+b²＞16，對(duì)應(yīng)區(qū)域如圖陰影部分，其面積為4²-π×4²×

1

4

=16-4π=m，
所以

m

n

=

16-4π

16

，所以π=4(1-

m

n

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了古典概型與幾何概型的概率求法；古典概型要求能夠列舉出所有事件和發(fā)生事件的個(gè)數(shù)，本題可以列舉出所有事件，概率問(wèn)題同其他的知識(shí)點(diǎn)結(jié)合在一起，實(shí)際上是以概率問(wèn)題為載體，本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的問(wèn)題．