Question

已知三棱錐P-ABC，其中PA=PB=PC=2，D為棱PB中點(diǎn)，平面ACD⊥平面PBC，平面ACD⊥平面PAB，則三棱錐P-ABC體積的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：根據(jù)題意得出V_P-ABC=

1

3

×S△ADC×PB=

2

3

×S_△ADC，轉(zhuǎn)化為，面積的最值求解．

解答： 解：∵平面ACD⊥平面PBC，平面ACD⊥平面PAB，
PB⊥平面ACD，
∴PB⊥DA，PB⊥DC，
∵D為棱PB中點(diǎn)，
∴△PAB≌△PBC正三角形，
∵PA=PB=PC=2，
∴AD=DC=

3

，
∴V_P-ABC=

1

3

×S△ADC×PB=

2

3

×S_△ADC，
∵S_△ADC=

1

2

×sin∠ADC×AD×DC=

1

2

×

3

×

3

×sin∠ADC≤

3

2

，
∴三棱錐P-ABC體積的最大值為：

2

3

×

3

2

=1

點(diǎn)評(píng)：本題考查了空間幾何體的體積，結(jié)合三角函數(shù)最值求解，屬于中檔題，關(guān)鍵是確定體積的公式，