Question

13．復(fù)數(shù)${z_1}=a+5+（10-{a^2}）i$，z₂=1-2a+（2a-5）i，其中a∈R．
（1）若a=-2，求z₁的模；
（2）若$\overline{z_1}+{z_2}$是實(shí)數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）把a(bǔ)=-2代入z₁進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后由復(fù)數(shù)求模公式計(jì)算得答案；
（2）由z₁求出$\overline{{z}_{1}}$，然后代入$\overline{z_1}+{z_2}$進(jìn)行化簡(jiǎn)，再結(jié)合已知條件即可求出實(shí)數(shù)a的值．

解答 解：（1）a=-2，則${z_1}=a+5+（10-{a^2}）i$=3+6i，
則$|{z_1}|=\sqrt{{3^2}+{6^2}}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$，
∴z₁的模為$3\sqrt{5}$；
（2）$\overline{z_1}+{z_2}=a+5+（{a^2}-10）i+1-2a+（2a-5）i$
=（6-a）+[（a²-10）+（2a-5）]i
=（6-a）+（a²+2a-15）i，
∵$\overline{z_1}+{z_2}$是實(shí)數(shù)，
∴a²+2a-15=0，解得a=-5或a=3．
故a=-5或a=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)模的求法以及復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．