Question

15．設(shè)a₁=1，a_n+1=$\sqrt{{a_n}^2-2{a_n}+2}$+1
（1）求a₂，a₃，a₄，并猜想通項(xiàng)公式．
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）的猜想．

Answer 1

分析 （1）由題意可得a_n+1=$\sqrt{{a_n}^2-2{a_n}+2}$+1，又a₁1=，可求得a₂，再由a₂的值求 a₃，再由a₃ 的值求出a₄的值，并猜想${a_n}=\sqrt{n-1}+1$．
（2）檢驗(yàn)n=1時(shí)等式成立，假設(shè)n=k時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立．

解答 解：（1）${a_2}=\sqrt{{a_1}^2-2{a_1}+2}+1$=2；${a_3}=\sqrt{{a_2}^2-2{a_2}+2}+1$=$\sqrt{2}+1$；${a_4}=\sqrt{{a_3}^2-2{a_3}+2}+1$=$\sqrt{3}+1$；猜想${a_n}=\sqrt{n-1}+1$；
（2）下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1時(shí)　滿(mǎn)足猜想；
②假設(shè)n=k時(shí)，${a_k}=\sqrt{k-1}+1$成立，
則${a_{k+1}}=\sqrt{{a_k}^2-2{a_k}+2}+1$=$\sqrt{{{（{a_k}-1）}^2}+1}+1$=$\sqrt{{{（\sqrt{k-1}）}^2}+1}+1$=$\sqrt{k}+1$=$\sqrt{（k+1）-1}+1$，
所以當(dāng)n=k+1時(shí)，${a_{k+1}}=\sqrt{（k+1）-1}+1$也成立；
綜合①②${a_n}=\sqrt{n-1}+1$對(duì)n∈N^*成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的遞推公式，用數(shù)學(xué)歸納法證明等式成立．證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立，是解題的難點(diǎn)．