Question

7．若-$\frac{π}{2}$＜β＜0＜α＜$\frac{π}{2}$，cos（$\frac{π}{4}$+α）=$\frac{1}{3}$，cos（$\frac{π}{4}$-$\frac{β}{2}$）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，則cos（α+$\frac{β}{2}$）=$\frac{5\sqrt{3}}{9}$．

Answer 1

分析 將α+$\frac{β}{2}$轉(zhuǎn)化為（ $\frac{π}{4}$+α）-（$\frac{π}{4}$-$\frac{β}{2}$ ），然后利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式進(jìn)行解答．

解答 解：∵-$\frac{π}{2}$＜β＜0＜α＜$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{4}$＜$\frac{π}{4}$+α＜$\frac{3π}{4}$，$\frac{π}{4}$＜$\frac{π}{4}$-$\frac{β}{2}$＜$\frac{π}{2}$，
∵cos（$\frac{π}{4}$+α）=$\frac{1}{3}$，cos（$\frac{π}{4}$-$\frac{β}{2}$）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴sin（$\frac{π}{4}$+α）=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，sin（$\frac{π}{4}$-$\frac{β}{2}$）=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴cos（α+$\frac{β}{2}$）=cos[（ $\frac{π}{4}$+α）-（$\frac{π}{4}$-$\frac{β}{2}$ ）]=cos（$\frac{π}{4}$+α）•cos（$\frac{π}{4}$-$\frac{β}{2}$）+sin（$\frac{π}{4}$+α）•sin（$\frac{π}{4}$-$\frac{β}{2}$）=$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$×$\frac{\sqrt{6}}{3}$=$\frac{5\sqrt{3}}{9}$．
故答案為：$\frac{5\sqrt{3}}{9}$．

點(diǎn)評 本題考查了兩角和與差的余弦函數(shù)．著重考查學(xué)生觀察與變換的能力，屬于中檔題．