Question

20．已知cos（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，α∈（0，$\frac{π}{2}$），則sinα=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

Answer 1

分析 利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得sin（α+$\frac{π}{4}$）的值，再利用兩角差的正弦公式求得sinα=sin[（$α+\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{4}$]的值．

解答 解：∵cos（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，α∈（0，$\frac{π}{2}$），∴sin（α+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{{1-cos}^{2}（α+\frac{π}{4}）}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
則sinα=sin[（$α+\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{4}$]=sin（α+$\frac{π}{4}$）cos$\frac{π}{4}$-cos（α+$\frac{π}{4}$）sin$\frac{π}{4}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}•\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{\sqrt{5}}{5}•\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

點(diǎn)評 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角差的正弦公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．