Question

15．已知P（1，1）為橢圓$\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{4}=1$內(nèi)一定點(diǎn)，經(jīng)過P引一弦，使此弦在P（1，1）點(diǎn)被平分，則此弦所在的直線方程是2x+y-3=0．

Answer 1

分析 設(shè)此弦的端點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．可得$\frac{{x}_{1}^{2}}{2}+\frac{{y}_{1}^{2}}{4}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{2}+\frac{{y}_{2}^{2}}{4}$=1，相減可得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{2}$+$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{4}$=0．
利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式與斜率計(jì)算公式可得斜率，即可得出．

解答 解：設(shè)此弦的端點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
則$\frac{{x}_{1}^{2}}{2}+\frac{{y}_{1}^{2}}{4}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{2}+\frac{{y}_{2}^{2}}{4}$=1，相減可得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{2}$+$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{4}$=0．
∵x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，∴${x_1}-{x_2}+\frac{{{y_1}-{y_2}}}{2}=0$，∴$k=\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=-2$，
∴此弦所在的直線方程為y-1=-2（x-1），即2x+y-3=0．
故答案為：2x+y-3=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、中點(diǎn)坐標(biāo)公式與斜率計(jì)算公式、“點(diǎn)差法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．