Question

10．設(shè)△ABC的三邊長分別為a、b、c，△ABC的面積為S，內(nèi)切圓半徑為r，外接圓半徑為R，則$r=\frac{2S}{a+b+c}$，類比得四面體S-ABCD的四個側(cè)面的面積分別為S₁，S₂，S₃，S₄，四面體S-ABCD的體積為V，內(nèi)切球的半徑為R，則R=$R=\frac{3V}{{{S_1}+{S_2}+{S_3}+{S_4}}}$．

Answer 1

分析 根據(jù)平面與空間之間的類比推理，由點類比點或直線，由直線 類比 直線或平面，由內(nèi)切圓類比內(nèi)切球，由平面圖形面積類比立體圖形的體積，結(jié)合求三角形的面積的方法類比求四面體的體積即可．

解答 解：設(shè)四面體的內(nèi)切球的球心為O，
則球心O到四個面的距離都是R，
所以四面體的體積等于以O(shè)為頂點，
分別以四個面為底面的4個三棱錐體積的和．
則四面體的體積為V=$\frac{1}{3}$（S₁+S₂+S₃+S₄）R
所以$R=\frac{3V}{{{S_1}+{S_2}+{S_3}+{S_4}}}$．
故答案為：$R=\frac{3V}{{{S_1}+{S_2}+{S_3}+{S_4}}}$．

點評 類比推理是指依據(jù)兩類數(shù)學(xué)對象的相似性，將已知的一類數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)類比遷移到另一類數(shù)學(xué)對象上去．一般步驟：①找出兩類事物之間的相似性或者一致性．②用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題（或猜想）．