Question

12．已知數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，且a₂=4，a₅=32，數(shù)列{b_n}滿足：對(duì)于任意n∈N*，有a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{d_n}滿足：d₁=6，d_n•d_n+1=6a•（-$\frac{1}{2}$）${\;}^{_{n}}$（a＞0），設(shè)T_n=d₁d₂d₃…d_n（n∈N*），當(dāng)且僅當(dāng)n=8時(shí)，T_n取得最大值，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過a₂=4、a₅=32，利用等差數(shù)列性質(zhì)可知：a₅=a₂•q³=32，即可求得q的值，求得a₁=2，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）通過a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2與a₁b₁+a₂b₂+…+a_n-1b_n-1=（n-2）•2ⁿ+2作差，通過a_n=2ⁿ，即可求得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，由c_n=d_n•d_n+1，T_n=d₁d₂d₃…d_n=$\left\{\begin{array}{l}{{c}_{1}{c}_{3}…{c}_{n-1}}&{n為偶數(shù)}\\{lrl5ngw_{1}{c}_{2}…{c}_{n-1}}&{n為奇數(shù)}\end{array}\right.$，由題意可知：當(dāng)n≤7時(shí)，|c_n|＞1，當(dāng)n≥8時(shí)，|c_n|＜1，列方程即可求得a的取值范圍．

解答 解：（1）∵a₂=4，a₅=32，
由等比數(shù)列性質(zhì)可知：a₅=a₂•q³=32，
∴q³=8，q=2，
∴a₁=2，
∴由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可知：a_n=2×2^n-1=2ⁿ，
數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=2ⁿ；
（2）∵a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a₁b₁+a₂b₂+…+a_n-1b_n-1=（n-2）•2ⁿ+2，
兩式相減得：a_nb_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2-（n-2）•2ⁿ+2=n•2ⁿ，即b_n=$\frac{n•{2}^{n}}{{2}^{n}}$=n（n≥2），
又∵a₁b₁=2，即b₁=1滿足上式，
∴b_n=n；
（2）令c_n=d_n•d_n+1=6a•（-$\frac{1}{2}$）ⁿ（a＞0），T_n=d₁d₂d₃…d_n=$\left\{\begin{array}{l}{{c}_{1}{c}_{3}…{c}_{n-1}}&{n為偶數(shù)}\\{xgkynma_{1}{c}_{2}…{c}_{n-1}}&{n為奇數(shù)}\end{array}\right.$，
由當(dāng)且僅當(dāng)n=8時(shí)，T_n取得最大值，
∴|T₂|＜|T₄|＜|T₆|＜|T₈|＞|T₁₀|＞…，|T₁|＜|T₃|＜|T₅|＜|T₇|＞…＞|T₁₁|＞…．
當(dāng)n≤7時(shí)，|c_n|＞1，當(dāng)n≥8時(shí)，|c_n|＜1，
∴6a＞2⁷，即a＞$\frac{64}{3}$，6a＜2⁸，即a＜$\frac{128}{3}$，
∴a的取值范圍（$\frac{64}{3}$，$\frac{128}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．