16.已知a為正的常數(shù),函數(shù)g(x)=|x-a|+$\frac{lnx}{x}$,x∈[1,e],則g(x)的最小值為g(x)min=$\left\{\begin{array}{l}{1-a,0<a≤1}\\{\frac{lna}{a},1<a≤e}\\{a-e+\frac{1}{e},a>e}\end{array}\right.$(e≈2.71828為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),寫成分段函數(shù)形式)

分析 對(duì)a討論,分當(dāng)0<a≤1時(shí),當(dāng)1<a≤e時(shí),當(dāng)a>e時(shí),去掉絕對(duì)值,求得導(dǎo)數(shù),判斷單調(diào)性,即可得到所求最小值.

解答 解:①當(dāng)0<a≤1時(shí),函數(shù)g(x)=|x-a|+$\frac{lnx}{x}$=x-a+$\frac{lnx}{x}$,x∈[1,e],
導(dǎo)數(shù)為g′(x)=1+$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$,由x∈[1,e],可得lnx∈[0,1],x2∈[1,e2],
即有g(shù)′(x)>0,g(x)遞增,可得g(x)min=g(1)=1-a;
②當(dāng)1<a≤e時(shí),當(dāng)x≥a時(shí),g(x)=x-a+$\frac{lnx}{x}$,x∈[1,e],
導(dǎo)數(shù)為g′(x)=1+$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$,可得g(x)在(a,e)遞增;
當(dāng)x<a時(shí),g(x)=a-x+$\frac{lnx}{x}$,x∈[1,e],
導(dǎo)數(shù)為g′(x)=-1+$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$,可得g(x)在(1,a)遞減.
即有g(shù)(x)在x=a處取得最小值g(a)=$\frac{lna}{a}$;
③當(dāng)a>e時(shí),g(x)=a-x+$\frac{lnx}{x}$,x∈[1,e],
導(dǎo)數(shù)為g′(x)=-1+$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$,可得g(x)在[1,e]遞減.
即有g(shù)(x)在x=e處取得最小值g(e)=a-e+$\frac{1}{e}$.
綜上可得,g(x)min=$\left\{\begin{array}{l}{1-a,0<a≤1}\\{\frac{lna}{a},1<a≤e}\\{a-e+\frac{1}{e},a>e}\end{array}\right.$.
故答案為:$\left\{\begin{array}{l}{1-a,0<a≤1}\\{\frac{lna}{a},1<a≤e}\\{a-e+\frac{1}{e},a>e}\end{array}\right.$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值的求法,注意運(yùn)用分類討論的思想方法,以及絕對(duì)值的意義和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用:求單調(diào)區(qū)間和最值,考查化簡整理的運(yùn)算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

3.有這樣一段演繹推理:“對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0且a≠1)是增函數(shù),而y=${log}_{\frac{1}{2}}$x是對(duì)數(shù)函數(shù),所以y=${log}_{\frac{1}{2}}$x是增函數(shù)”.上面推理顯然是錯(cuò)誤的,是因?yàn)椋ā 。?table class="qanwser">A.大前提錯(cuò)導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)B.小前提錯(cuò)導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)C.推理形式錯(cuò)導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)D.大前提和小前提錯(cuò)導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

4.函數(shù)y=$\frac{|sinx|}{sinx}$+$\frac{cosx}{|cosx|}$+$\frac{|tanx|}{tanx}$+$\sqrt{cos2016π}$的值域是{0,4}.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

4.已知直線l的參數(shù)方程是$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t+4\sqrt{2}}\end{array}}$(t是參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cos(θ+$\frac{π}{4}$).
(1)判斷直線l與曲線C的位置關(guān)系;
(2)過直線l上的點(diǎn)作曲線C的切線,求切線長的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

11.已知函數(shù)f(x)=e-x-alnx在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,則a的取值范圍為(-∞,-$\frac{1}{e}$].

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

1.已知一個(gè)三棱柱的底面是正三角形,且側(cè)棱垂直于底面,此三棱柱的三視圖如圖所示,則該棱柱的全面積為(  )
A.24+$\sqrt{3}$B.24+2$\sqrt{3}$C.14$\sqrt{3}$D.12$\sqrt{3}$

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

8.已知函數(shù)f(x)=x|2a-x|+2x,a∈R.
(1)若a=0,判斷函數(shù)y=f(x)的奇偶性,并加以證明;
(2)若函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)若存在實(shí)數(shù)a∈(1,2]使得關(guān)于x的方程f(x)-tf(2a)=0有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

5.已知A={x|x+1>0},B={x|x2+x-2<0},則A∪B=( 。
A.(-2,+∞)B.(-2,-1)C.(-1,1)D.(1,+∞)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

6.已知a∈($\frac{π}{2}$,π),sina=$\frac{\sqrt{5}}{5}$.
(Ⅰ)求tan($\frac{π}{4}$+2a)的值;
(Ⅱ)求cos($\frac{5π}{6}$-2a)的值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案