Question

16．已知a為正的常數(shù)，函數(shù)g（x）=|x-a|+$\frac{lnx}{x}$，x∈[1，e]，則g（x）的最小值為g（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}{1-a，0＜a≤1}\\{\frac{lna}{a}，1＜a≤e}\\{a-e+\frac{1}{e}，a＞e}\end{array}\right.$（e≈2.71828為自然對數(shù)的底數(shù)，寫成分段函數(shù)形式）

Answer 1

分析 對a討論，分當(dāng)0＜a≤1時，當(dāng)1＜a≤e時，當(dāng)a＞e時，去掉絕對值，求得導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得到所求最小值．

解答 解：①當(dāng)0＜a≤1時，函數(shù)g（x）=|x-a|+$\frac{lnx}{x}$=x-a+$\frac{lnx}{x}$，x∈[1，e]，
導(dǎo)數(shù)為g′（x）=1+$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，由x∈[1，e]，可得lnx∈[0，1]，x²∈[1，e²]，
即有g(shù)′（x）＞0，g（x）遞增，可得g（x）_min=g（1）=1-a；
②當(dāng)1＜a≤e時，當(dāng)x≥a時，g（x）=x-a+$\frac{lnx}{x}$，x∈[1，e]，
導(dǎo)數(shù)為g′（x）=1+$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，可得g（x）在（a，e）遞增；
當(dāng)x＜a時，g（x）=a-x+$\frac{lnx}{x}$，x∈[1，e]，
導(dǎo)數(shù)為g′（x）=-1+$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，可得g（x）在（1，a）遞減．
即有g(shù)（x）在x=a處取得最小值g（a）=$\frac{lna}{a}$；
③當(dāng)a＞e時，g（x）=a-x+$\frac{lnx}{x}$，x∈[1，e]，
導(dǎo)數(shù)為g′（x）=-1+$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，可得g（x）在[1，e]遞減．
即有g(shù)（x）在x=e處取得最小值g（e）=a-e+$\frac{1}{e}$．
綜上可得，g（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}{1-a，0＜a≤1}\\{\frac{lna}{a}，1＜a≤e}\\{a-e+\frac{1}{e}，a＞e}\end{array}\right.$．
故答案為：$\left\{\begin{array}{l}{1-a，0＜a≤1}\\{\frac{lna}{a}，1＜a≤e}\\{a-e+\frac{1}{e}，a＞e}\end{array}\right.$．

點評 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運用分類討論的思想方法，以及絕對值的意義和導(dǎo)數(shù)的運用：求單調(diào)區(qū)間和最值，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．