Question

4．已知直線(xiàn)l的參數(shù)方程是$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t+4\sqrt{2}}\end{array}}$（t是參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cos（θ+$\frac{π}{4}$）．
（1）判斷直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C的位置關(guān)系；
（2）過(guò)直線(xiàn)l上的點(diǎn)作曲線(xiàn)C的切線(xiàn)，求切線(xiàn)長(zhǎng)的最小值．

Answer 1

分析 （1）分別求出直線(xiàn)和曲線(xiàn)的普通方程，根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，求出直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C的位置關(guān)系；
（2）根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離求出直線(xiàn)l上的點(diǎn)向圓C引的切線(xiàn)長(zhǎng)的最小值即可．

解答 解：（1）直線(xiàn)l方程：y=x+4$\sqrt{2}$，ρ=4cos（θ+$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$cosθ-2$\sqrt{2}$sinθ，
∴ρ²=2$\sqrt{2}$ρcosθ-2$\sqrt{2}$sinθ，
∴圓C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²-2$\sqrt{2}$x+2$\sqrt{2}$y=0，
即${（x-\sqrt{2}）}^{2}$+${（y+\sqrt{2}）}^{2}$=4，
∴圓心（$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$）到直線(xiàn)l的距離為d=6＞2，故直線(xiàn)與圓相離．（5分）
（2）直線(xiàn)l的參數(shù)方程化為普通方程為x-y+4$\sqrt{2}$=0，
則圓心C到直線(xiàn)l的距離為$|\frac{\sqrt{2}+\sqrt{2}+4\sqrt{2}}{\sqrt{2}}|$=6，
∴直線(xiàn)l上的點(diǎn)向圓C引的切線(xiàn)長(zhǎng)的最小值為$\sqrt{{6}^{2}{-2}^{2}}$=4$\sqrt{2}$．（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，考查直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系，考查切線(xiàn)問(wèn)題，是一道中檔題．