Question

11．已知函數(shù)f（x）=e^-x-alnx在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則a的取值范圍為（-∞，-$\frac{1}{e}$]．

Answer 1

分析 問題轉(zhuǎn)化為a≤-xe^-x在（0，+∞）恒成立，令g（x）=≤-xe^-x，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（x）的最小值，從而求出a的范圍即可．

解答 解：∵f（x）=e^-x-alnx，（x＞0），
∴f′（x）=-e^-x-$\frac{a}{x}$，
若函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，
則f′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，
即a≤-xe^-x在（0，+∞）恒成立，
令g（x）=≤-xe^-x，則g′（x）=e^-x（x-1），
令g′（x）＞0，解得：x＞1，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
故g（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
∴g（x）_最小值=g（1）=-$\frac{1}{e}$，
∴a≤-$\frac{1}{e}$，
故答案為：（-∞，-$\frac{1}{e}$]．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．