Question

10．已知圓A的方程為x²+y²-2x-2y-7=0，圓B的方程為x²+y²+2x+2y-2=0，
（Ⅰ）判斷圓A與圓B是否相交，若相交，求過兩交點的直線方程及兩交點間的距離；若不相交，請說明理由．
（Ⅱ）求兩圓的公切線長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）比較兩圓圓心距|AB|與半徑和r₁+r₂、半徑差的絕對值|r₁-r₂|的大�。�
（Ⅱ）設公切線l切圓A、圓B的切點分別為E，F(xiàn)，則四邊形AEFB是直角梯形．

解答 解：（Ⅰ）圓A：（x-1）²+（y-1）²=9    圓B：（x+1）²+（y+1）²=4，
兩圓心距|AB|=$\sqrt{{{（1+1）}^2}+{{（1+1）}^2}}=2\sqrt{2}$，
∵3-2＜$|{AB}|=2\sqrt{2}＜3+2$，
∴兩圓相交．
將兩圓方程左、右兩邊分別對應相減得：4x+4y+5=0，
此即為過兩圓交點的直線方程．
設兩交點分別為C、D，則連心線AB垂直平分線段CD，
∵A到CD的距離$d=\frac{{|{4×1+4×1+5}|}}{{\sqrt{{4^2}+{4^2}}}}=\frac{13}{8}\sqrt{2}$，
∴$|{CD}|=2\sqrt{r_A^2-{d^2}}=\frac{{\sqrt{238}}}{4}$．
（Ⅱ）設公切線l切圓A、圓B的切點分別為E，F(xiàn)，則四邊形AEFB是直角梯形．
∴${|{EF}|^2}={|{AB}|^2}-{（{r_A}-{r_B}）^2}=7$，∴$|{EF}|=\sqrt{7}$．

點評 本題考查圓與圓的位置關系，考查勾股定理的運用，屬于中檔題．