Question

17．已知函數(shù)f（x）=aln（x+1）+$\frac{1}{2}$x²-x，其中a為非零實(shí)數(shù)．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若y=f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，且x₁＜x₂，求證：$\frac{f（{x}_{2}）}{{x}_{1}}$＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）所證問(wèn)題轉(zhuǎn)化為（1+x₂）ln（x₂+1）-$\frac{1}{2}$x₂＞0，令g（x）=（1+x）ln（x+1）-$\frac{1}{2}$x，x∈（0，1），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答 （1）解：f′（x）=$\frac{{x}^{2}+（a-1）}{x+1}$，x＞1，
當(dāng)a-1≥0即a≥1時(shí)f′（x）≥0，
∴f（x）在（-1，+∞）遞增，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由f′（x）=0，
∴x₁=-$\sqrt{1-a}$＞-1，x₂=$\sqrt{1-a}$，
∴f（x）在（-1，-$\sqrt{1-a}$）遞增，在（-$\sqrt{1-a}$，$\sqrt{1-a}$）遞減，在（$\sqrt{1-a}$，+∞）遞增，
當(dāng)a＜0時(shí)，∵x₁＜-1，∴f（x）在（-1，$\sqrt{1-a}$）遞減，在（$\sqrt{1-a}$，+∞）遞增；
（2）證明：∵0＜a＜1且x₁=-$\sqrt{1-a}$，x₂=$\sqrt{1-a}$，
∴x₁+x₂=0，x₁x₂=a-1且x₂∈（0，1），
$\frac{f{（x}_{2}）}{{x}_{1}}$＜$\frac{1}{2}$?$\frac{f{（x}_{2}）}{{-x}_{2}}$＜$\frac{1}{2}$?f（x₂）+$\frac{1}{2}$x₂＞0
?aln（x₂+1）+$\frac{1}{2}$${{x}_{2}}^{2}$-$\frac{1}{2}$x₂＞0
?（1+x₂）ln（x₂+1）-$\frac{1}{2}$x₂＞0，
令g（x）=（1+x）ln（x+1）-$\frac{1}{2}$x，x∈（0，1），
∵g′（x）=ln（x+1）+$\frac{1}{2}$＞0，
∴g（x）在（0，1）遞增，
∴g（x）＞g（0）=0，
∴命題得證．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．