Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}+2ax}{{e}^{x-1}}$（α∈R，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），若曲線y=f（x）在x=1處的切線為y=kx（k∈R），求函數(shù)f（x）的極值．

Answer 1

分析 求導(dǎo)數(shù)，利用曲線y=f（x）在x=1處的切線為y=kx，求出a，再確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求函數(shù)f（x）的極值．

解答 解：∵f（x）=$\frac{{x}^{2}+2ax}{{e}^{x-1}}$，
∴f′（x）=$\frac{-{x}^{2}+（2-2a）x+2a}{{e}^{x-1}}$，
∵曲線y=f（x）在x=1處的切線為y=kx，
∴f′（1）=1=k，f（1）=1+2a=k，
∴k=1，a=0，
∴f′（x）=$\frac{-x（x-2）}{{e}^{x-1}}$，
令f′（x）＞0，可得0＜x＜2；f′（x）＜0，可得x＜0或x＞2，
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，2），單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，0），（2，+∞），
∴x=0時(shí)，函數(shù)取得極小值f（0）=0，x=2時(shí)，函數(shù)取得極大值$\frac{4}{e}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查求函數(shù)f（x）的極值，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，正確求出a是關(guān)鍵．