Question

17．已知（1+x+x²）（x+$\frac{1}{{x}^{3}}$）ⁿ的展式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)，n∈N^*，且2≤n≤8，試求出n的值．

Answer 1

分析 要想使已知展開式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)，需（x+$\frac{1}{{x}^{3}}$）ⁿ（n∈N^*）的展開式中無(wú)常數(shù)項(xiàng)、x^-1項(xiàng)、x^-2項(xiàng)，利用（x+$\frac{1}{{x}^{3}}$）ⁿ（n∈N⁺）的通項(xiàng)公式討論即可．

解答 解：設(shè)（x+$\frac{1}{{x}^{3}}$）ⁿ（n∈N^*）展開式的通項(xiàng)為T_r+1，
則T_r+1=${C}_{n}^{r}$•x^n-r•x^-3r=${C}_{n}^{r}$•x^n-4r，2≤n≤8，
當(dāng)n=2時(shí)，若r=1，（1+x+x²）（x+$\frac{1}{{x}^{3}}$）ⁿ（n∈N^*）的展開式中有常數(shù)項(xiàng)${C}_{2}^{1}$，故n≠2；
當(dāng)n=3時(shí)，若r=1，（1+x+x²）（x+$\frac{1}{{x}^{3}}$）ⁿ（n∈N^*）的展開式中有常數(shù)項(xiàng)${C}_{3}^{1}$，故n≠3；
當(dāng)n=4時(shí)，若r=1，（1+x+x²）（x+$\frac{1}{{x}^{3}}$）ⁿ（n∈N^*）的展開式中有常數(shù)項(xiàng)${C}_{4}^{1}$，故n≠4；
當(dāng)n=5時(shí)，r=0、1、2、3、4、5時(shí)，（1+x+x²）（x+$\frac{1}{{x}^{3}}$）ⁿ（n∈N^*）的展開式中均沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)，故n=5適合題意；
當(dāng)n=6時(shí)，若r=2，（1+x+x²）（x+$\frac{1}{{x}^{3}}$）ⁿ（n∈N^*）的展開式中有常數(shù)項(xiàng)${C}_{6}^{2}$，故n≠6；
當(dāng)n=7時(shí)，若r=2，（1+x+x²）（x+$\frac{1}{{x}^{3}}$）ⁿ（n∈N^*）的展開式中有常數(shù)項(xiàng)${C}_{7}^{2}$，故n≠7；
當(dāng)n=8時(shí)，若r=2，（1+x+x²）（x+$\frac{1}{{x}^{3}}$）ⁿ（n∈N^*）的展開式中有常數(shù)項(xiàng)${C}_{8}^{2}$，故n≠8；
綜上，n=5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式定理以及二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式與應(yīng)用問(wèn)題，也考查了分類討論思想的應(yīng)用問(wèn)題，屬于難題．