Question

4．以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸．已知點(diǎn)P的極坐標(biāo)為（5，0），點(diǎn)M的極坐標(biāo)為（4，$\frac{π}{2}$），若直線l過點(diǎn)P，且傾斜角為$\frac{π}{3}$，圓C以M為圓心，4為半徑．
（1）求直線l和圓C的極坐標(biāo)方程；
（2）試判斷直線l和圓C的位置關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）直接由已知寫出直線l的極坐標(biāo)方程和圓的極坐標(biāo)方程；
（2）求出M的直角坐標(biāo)，化直線的極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程，由點(diǎn)到直線的距離公式判斷圓心到直線的距離，比較與圓的半徑的關(guān)系得答案．

解答 解：（1）直線l的極坐標(biāo)方程為$ρsin（θ-\frac{π}{3}）=-\frac{5\sqrt{3}}{2}$，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=8sinθ；
（2）∵M(jìn)（4，$\frac{π}{2}$），對應(yīng)的直角坐標(biāo)為（0，4），
由直線l：$ρsin（θ-\frac{π}{3}）=-\frac{5\sqrt{3}}{2}$，得$ρsinθcos\frac{π}{3}-ρcosθsin\frac{π}{3}=-\frac{5\sqrt{3}}{2}$．
化為普通方程為$\sqrt{3}x-y-5\sqrt{3}=0$，
圓心到l的距離d=$\frac{|0-4-5\sqrt{3}|}{\sqrt{3+1}}=\frac{4+5\sqrt{3}}{2}＞4$，
∴直線l與圓C相離．

點(diǎn)評 本題考查簡單曲線的極坐標(biāo)方程，考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．