【題目】已知為坐標原點,橢圓上頂點為,右頂點為,離心率,圓與直線相切.

1)求橢圓的標準方程;

2)若,,為橢圓上的三個動點,直線,,的斜率分別為.

i)若的中點為,求直線的方程;

ii)若,證明:直線過定點.

【答案】1;(2)(i;(ii)證明見解析.

【解析】

1)由離心率和直線AB與圓相切分別得到ab的關系式,求解得橢圓的方程;

2)(i)由點差法求出直線EF的斜率,然后寫出方程;

(ⅱ)由直線DE、DF與橢圓的相交關系,分別求出EF兩點的橫坐標,再利用,求得,另設直線的方程為,代入橢圓方程,利用韋達定理表示,求得,故得結(jié)論直線EF過定點

解:(1)由題意,直線的方程為:,即為,

因為圓與直線相切,所以,

設橢圓的半焦距為,因為,,

所以

由①②得:,所以橢圓的標準方程為:.

2)設,

i)由題知:,

兩式做差得:,

整理得:,

所以此時直線的方程為:;

ii)設直線,設直線,

代入,

得:

所以,

因此.

又因為,且同理可得:

可得,

設直線的方程為:,將代入,

得:,

,所以,

所以直線過定點.

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分組

頻數(shù)

頻率

20

0.25

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4

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