Question

7．若數(shù)列A_n：a₁、a₂、…a_n（n≥2）滿足|a_k+1-a_k|=d＞0（k=1，2，…，n-1），則稱A_n為F數(shù)列：
（1）寫出所有滿足a₁=a₅=0的兩個F數(shù)列A₅；
（2）若a₁=d=1，n=2016，證明：F數(shù)列是遞增數(shù)列的充要條件是a_n=2016；
（3）記S（A_n）=a₁+a₂+…+a_n，對任意給定的正整數(shù)n（n≥2），且d∈N^*，是否存在a₁=0的F數(shù)列A_n，使得S（A_n）=0？如果存在，求出正整數(shù)n滿足的條件，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據題意，a₁=a₅=0，a₂=±1，a₄=±1，再根據|a_k+1-a_k|=1求出a₃=0，可以得出符合題設的E數(shù)列A₅；
（2）可先證明必要性：由遞增數(shù)列的定義，得到A_n是首項為1，公差為-的等差數(shù)列．即可求得a₂₀₁₆=1+（2016-1）×1=2016；再證充分性：由新定義推出a₂₀₁₆≥a₁₊2015，又因為a₁=1，a₂₀₁₆=2016，所以a₂₀₁₆=a₁+2015．得證；
（3）由a₁=0，|a_k+1-a_k|=d＞0，可得a₂=d或-d，然后不適一般性驗證即可．

解答 解：（1）∵數(shù)列E數(shù)列A_n滿足|a_k+1-a_k|=d＞0，
∴滿足a₁=a₅=0的所有E數(shù)列A₅四個：①0，d，0，d，0；
②0，-d，0，-d，0；③0，-d，0，d，0；④0，d，0，-d，0．
任意寫出兩個即可，答案不唯一；
（2）證明：必要性：因為F數(shù)列A₂₀₁₆是遞增數(shù)列，
所以a_k+1-a_k=1（k=1，2，…，2015）．            
所以A_n是首項為1，公差為1的等差數(shù)列．
所以a₂₀₁₆=1+（2016-1）×）=2016．
充分性：由于a₂₀₁₆-a₂₀₁₅≥1，
a₂₀₁₅-a₂₀₁₄≥1
…
a₂-a₁≥1                              
所以a₂₀₁₆-a₁≥2015，即a₂₀₁₆≥a₁+2015，
又因為a₁=1，a₂₀₁₆=2016，
所以a₂₀₁₆=a₁+2015．
故a_n+1-a_n=1＞0（k=1，2，…，2015）即A_n是遞增數(shù)列．
綜上，結論得證；
（3）由a₁=0，|a_k+1-a_k|=d＞0，可得a₂=d或-d，
a₁=0，a₂=d，a₃=0，a₄=-d，S（A_n）=0；
a₁=0，a₂=d，a₃=2d，a₄=-d，a₅=0，a₆=-d，a₃=-2d，a₄=-d，S（A_n）=0
不適一般性，可得n=4k，k∈N^*，S（A_n）=0．

點評 本題考查數(shù)列新定義及理解，考查數(shù)列的運用，充分必要條件的證明，解題的關鍵在于對新定義的正確運用，屬于中檔題．