Question

1．若對(duì)于定義在R上的連續(xù)函數(shù)f（x），存在常數(shù)a（a∈R），使得f（x+a）+af（x）=0對(duì)任意的實(shí)數(shù)x成立，則稱f（x）是回旋函數(shù)，且階數(shù)為a．
（1）試判斷函數(shù)f（x）=sinπx是否是一個(gè)階數(shù)為1的回旋函數(shù)，并說(shuō)明理由；
（2）已知f（x）=sinωx是回旋函數(shù)，求實(shí)數(shù)ω的值；
（3）若回旋函數(shù)f（x）=sinωx-1（ω＞0）在[0，1]恰有100個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)ω的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)定義驗(yàn)證f（x+1）+f（x）=0是否恒成立即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)定義列出恒等式，令x=0即可得出sinωa=0，從何計(jì)算出cosωa=-a，故而得出a=±1，從而得出ω的值；
（3）根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)得出ω的范圍，根據(jù)（2）的結(jié)論和恒等式得出a=-1，從而可得$\left\{\begin{array}{l}{sin（-ω）=0}\\{cos（-ω）=1}\end{array}\right.$，結(jié)合ω的范圍即可得出ω的值．

解答 解：（1）f（x）=sinπx，f（x+1）=sin[π（x+1）]=-sinπx=-f（x），
∴f（x+1）+f（x）=0對(duì)任意的實(shí)數(shù)x成立，
∴f（x）是一個(gè)階數(shù)為1的回旋函數(shù)．
（2）由于f（x）=sinωx是回旋函數(shù)，
故有：sin[ω（x+a）]+asinωx=0對(duì)任意實(shí)數(shù)x成立，
∴sinωx（a+cosωa）+cosωxsinaω=0恒成立．
令x=0，可得sinωa=0，
∴cosωa=-a，
∴a=±1，ω=kπ（k∈Z）．
（3）令f（x）=sinωx-1=0得sinωx=1，
即ωx=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，∴x=$\frac{2kπ}{ω}$+$\frac{π}{2ω}$．
∵f（x）在[0，1]恰有100個(gè)零點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{198π}{ω}+\frac{π}{2ω}≤1}\\{\frac{200π}{ω}+\frac{π}{2ω}＞1}\end{array}\right.$，解得：$\frac{397π}{2}$≤ω＜$\frac{401π}{2}$．
由于f（x）=sinωx-1是回旋函數(shù)，
故有：sin[ω（x+a）]-1+asinωx-a=0對(duì)任意實(shí)數(shù)x成立，
由（2）可知a=-1．
令x=0，可得sinωa=sin（-ω）=1+a=0，
∴cos（-ω）=1，
∴-ω=2kπ，即ω=-2kπ，k∈Z．
又$\frac{397π}{2}$≤ω＜$\frac{401π}{2}$，
∴ω=200π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)新定義的理解與應(yīng)用，函數(shù)恒成立問(wèn)題與三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．