Question

15．已知函數(shù)f（x）=（1+$\sqrt{3}$tanx）cos²x．
（1）若α為第二象限角，且sina=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，求f（α）的值；
（2）求函數(shù)f（x）的定義域和值域．

Answer 1

分析 （1）由α為第二象限角及sina的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cosα及tanα的值，再代入f（α）中即可得到結(jié)果．
（2）函數(shù)f（x）解析式利用二倍角和輔助角公式將f（x）化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)x的范圍，即可得到函數(shù)值域．

解答 解：（1）∵α為第二象限角，且sina=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴cosα=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴tanα=-$\sqrt{2}$，
∴f（α）=（1+$\sqrt{3}$tanα）cos²α=$\frac{1-\sqrt{6}}{3}$
（2）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x≠kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z}，
化簡f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
∵x≠kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z
∴2x+$\frac{π}{6}$≠2kπ+$\frac{7π}{6}$，k∈Z
∴-1≤sin（2x+$\frac{π}{6}$）≤1
∴-$\frac{1}{2}$≤f（x）≤$\frac{3}{2}$
∴f（x）的值域?yàn)閇-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]

點(diǎn)評(píng) 本題考查二倍角和輔助角公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及正弦函數(shù)的定義域與值域，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．