Question

5．設函數$f（x）=lnx+\frac{a}{x-1}$，（a＞0）
（Ⅰ）當$a=\frac{1}{30}$時，求函數f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）當$a≥\frac{1}{2}$，x∈（1，+∞）時，求證：$lnx+\frac{a}{x-1}＞1$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的定義域，求出函數的導數，從而求出函數的單調區(qū)間即可；
（Ⅱ）問題轉化為2（x-1）lnx+1＞2（x-1）當x＞1時成立，設g（x）=2（x-1）lnx-2（x-1）+1（x＞1），通過判斷函數的單調性，求出g（x）的最小值，從而證明結論．

解答 解：（Ⅰ）函數f（x）的定義域為（0，1）∪（1，+∞），
當$a=\frac{1}{30}$時，$f'（x）=\frac{{（x-\frac{5}{6}）（x-\frac{6}{5}）}}{{x{{（x-1）}^2}}}$，…（3分）
令f′（x）＞0，得：$x＞\frac{6}{5}$或$x＜\frac{5}{6}$，所以函數單調增區(qū)間為：$（0，\frac{5}{6}）$，$（\frac{6}{5}，+∞）$，
令f′（x）＜0，得：$\frac{5}{6}＜x＜\frac{6}{5}$，所以函數單調減區(qū)間為：$（\frac{5}{6}，1）$，$（1，\frac{6}{5}）$…（5分）
（Ⅱ）若證$lnx+\frac{a}{x-1}＞1$，$（a≥\frac{1}{2}，x＞1）$成立，
只需證：$lnx+\frac{a}{x-1}≥lnx+\frac{1}{2（x-1）}＞1$，
即：2（x-1）lnx+1＞2（x-1）當x＞1時成立…（6分）
設g（x）=2（x-1）lnx-2（x-1）+1（x＞1），
∴$g'（x）=2（lnx-\frac{1}{x}）$，顯然g′（x）在（1，+∞）內是增函數，
且g′（1）=-2＜0，$g'（2）=2（ln2-\frac{1}{2}）＞0$，
∴g′（x）=0在（1，2）內有唯一零點x₀，使得：$ln{x_0}-\frac{1}{x_0}=0$，
且當x∈（1，x₀），g′（x）＜0；
當x∈（x₀，+∞），g′（x）＞0．
∴g（x）在（1，x₀）遞減，在（x₀，+∞）遞增…（10分），
g（x）_min=g（x₀）=2（x₀-1）（lnx₀-1）+1=$2（{{x_0}-1}）（{\frac{1}{x_0}-1}）+1$=$5-2（{x_0}+\frac{1}{x_0}）$，
∵x₀∈（1，2），∴$2＜{x_0}+\frac{1}{x_0}＜\frac{5}{2}$，
∴g（x）_min＞0，∴$lnx+\frac{a}{x-1}＞1$成立…（12分）

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及函數恒成立問題，是一道綜合題．