Question

20．已知函數(shù)f（x）=2sinx（sinx+cosx）
（I）求f（x）的對(duì)稱中心的坐標(biāo)和單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）在銳角三角形ABC中，已知f（A）=2，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a=2，求△ABC的面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，利用輔助角公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的對(duì)稱中心橫坐標(biāo)為kπ，得到函數(shù)的對(duì)稱中心的坐標(biāo)，單調(diào)遞增區(qū)間[2kπ-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$+2kπ]，求出x的范圍，可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得到A=$\frac{π}{4}$，由余弦定理，得到bc的范圍，再由三角形的面積公式得到面積的最大值．

解答 （I）$f（x）=2{sin^2}x+2sinxcosx=1-cos2x+sin2x=\sqrt{2}sin（2x-\frac{π}{4}）+1$，
令$sin（2x-\frac{π}{4}）=0$，有$2x-\frac{π}{4}=kπ$，$x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{8}（k∈Z）$，
所以f（x）的對(duì)稱中心是$（\frac{kπ}{2}+\frac{π}{8}，1）（k∈Z）$
令$-\frac{π}{2}+kπ≤2x-\frac{π}{4}≤\frac{π}{2}+kπ$，
得：$-\frac{π}{8}+\frac{kπ}{2}≤x≤\frac{3π}{8}+\frac{kπ}{2}（k∈Z）$，
所以f（x）的遞增區(qū)間是$[{-\frac{π}{8}+\frac{kπ}{2}，\frac{3π}{8}+\frac{kπ}{2}}]（k∈Z）$
（Ⅱ）由（I）得：$sin（2A-\frac{π}{4}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
因?yàn)锳為銳角，所以$2A-\frac{π}{4}=\frac{π}{4}$，即$A=\frac{π}{4}$，
又a²=b²+c²-2bccosA，
所以$4≥2bc-\sqrt{2}bc$，即$bc≤\frac{4}{{2-\sqrt{2}}}=2（2+\sqrt{2}）$，
所以${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA≤\frac{1}{2}×2（2+\sqrt{2}）×\frac{{\sqrt{2}}}{2}=\sqrt{2}+1$，
當(dāng)且僅當(dāng)b=c取等號(hào)，
故該三角形面積的，最大值為$\sqrt{2}+1$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的對(duì)稱中心和單調(diào)區(qū)間，主要涉及兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，輔助角公式，正弦定理，余弦定理等，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．