Question

9．已知x，y∈R⁺且2x+y=3，若不等式xy≤（x+2y）•a對任意x，y∈R⁺恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是[$\frac{1}{3}$，+∞）．

Answer 1

分析 由題意可得1=$\frac{1}{3}$（2x+y），a≥$\frac{xy}{x+2y}$對任意x，y∈R⁺恒成立，由$\frac{xy}{x+2y}$=$\frac{1}{\frac{1}{y}+\frac{2}{x}}$=$\frac{3}{（2x+y）（\frac{2}{x}+\frac{1}{y}）}$，展開運用基本不等式，可得最大值，進而得到a的范圍．

解答 解：由x，y∈R⁺且2x+y=3，可得1=$\frac{1}{3}$（2x+y），
不等式xy≤（x+2y）•a對任意x，y∈R⁺恒成立，
即為a≥$\frac{xy}{x+2y}$對任意x，y∈R⁺恒成立，
由$\frac{xy}{x+2y}$=$\frac{1}{\frac{1}{y}+\frac{2}{x}}$=$\frac{3}{（2x+y）（\frac{2}{x}+\frac{1}{y}）}$
=$\frac{3}{5+\frac{2x}{y}+\frac{2y}{x}}$≤$\frac{3}{5+2\sqrt{\frac{2x}{y}•\frac{2y}{x}}}$=$\frac{3}{9}$=$\frac{1}{3}$．
當且僅當x=y=1時，取得最大值$\frac{1}{3}$．
則a≥$\frac{1}{3}$．
則實數(shù)a的取值范圍是[$\frac{1}{3}$，+∞）．
故答案為：[$\frac{1}{3}$，+∞）．

點評 本題考查基本不等式的運用，注意運用乘1法和變形，考查不等式恒成立問題的解法，注意轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，考查運算能力，屬于中檔題．