Question

17．已知拋物線C：y²=8x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn) M（-2，2），過點(diǎn)F且斜率為k的直線與C交于 A，B兩點(diǎn)，若∠AMB=90°，則k=（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 寫出直線的點(diǎn)斜式方程，與拋物線方程聯(lián)立得出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，根據(jù)k_AM•k_BM=-1列方程解出k．

解答 解：拋物線焦點(diǎn)F（2，0），設(shè)直線AB的方程為y=k（x-2），
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=8x}\\{y=k（x-2）}\end{array}\right.$，消元得k²x-（4k²+8）x+4k²=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=4+$\frac{8}{{k}^{2}}$，x₁x₂=4．
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）-4k=$\frac{8}{k}$，y₁y₂=-16．
∵∠AMB=90°，∴k_AM•k_BM=-1，即$\frac{{y}_{1}-2}{{x}_{1}+2}•\frac{{y}_{2}-2}{{x}_{2}+2}=-1$．
∴y₁y₂-2（y₁+y₂）+4+x₁x₂+2（x₁+x₂）+4=0．
∴-16-$\frac{16}{k}$+4+4+2（4+$\frac{8}{{k}^{2}}$）+4=0，整理得：k²-4k+4=0，
解得k=2．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題．