Question

以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，且兩個(gè)坐標(biāo)系取相等的長度單位,已知直線 的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)， ），曲線C的極坐標(biāo)方程為．

（Ⅰ）求曲線C的直角坐標(biāo)方程。

（Ⅱ）設(shè)直線 與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)a變化時(shí)，求 的最小值

 

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）4

【解析】

試題分析：（Ⅰ）將兩邊乘以得，，將代入上式得曲線C的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）將將直線的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程中，整理關(guān)于t的二次方程，設(shè)M，N兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，利用一元二次方程根與系數(shù)將，用表示出來，利用直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義得，|AB|=，再轉(zhuǎn)化為關(guān)于與的函數(shù)，利用前面，關(guān)于的表示式，將上述函數(shù)化為關(guān)于的函數(shù)，利用求最值的方法即可求出|AB|的最小值．

試題解析：（Ⅰ）由,得

所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為 （4分）

（Ⅱ）將直線l的參數(shù)方程代入,得

設(shè)A、B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1、t2,則

t1+t2=,t1t2=,

∴|AB|=|t1-t2|==,

當(dāng)時(shí),|AB|的最小值為4 （10分）

考點(diǎn)： 極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)互化，直線與拋物線的位置關(guān)系，直線的參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義，設(shè)而不求思想