Question

已知函數(shù)f（x）=2^x+k•2^-x（x∈R）．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）設k＞0，問函數(shù)f（x）的圖象是否關于某直線x=m成軸對稱圖形，如果是，求出m的值；如果不是，請說明理由；（可利用真命題：“函數(shù)g（x）的圖象關于某直線x=m成軸對稱圖形”的充要條件為“函數(shù)g（m+x）是偶函數(shù)”）
（3）設k=-1，函數(shù)h（x）=a•2^x-2^1-x-

4

3

a，若函數(shù)f（x）與h（x）的圖象有且只有一個公共點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的判斷,必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）個別化函數(shù)圖象對稱的定義進行證明；
（3）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）f（-x）=2^-x+k•2^x，
若f（x）是偶函數(shù)，則f（-x）=f（x），即2^-x+k•2^x=2^x+k•2^-x，…（1分）
所以（k-1）（2^x-2^-x）=0對任意實數(shù)x成立，所以k=1；   …（2分）
若f（x）是奇函數(shù)，則f（-x）=-f（x），即2^-x+k•2^x=-2^x-k•2^-x，…（3分）
所以（k+1）（2^x+2^-x）=0對任意實數(shù)x成立，所以k=-1．  …（4分）
綜上，當k=1時，f（x）是偶函數(shù)；當k=-1時，f（x）是奇函數(shù)；當k≠±1時，f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．     …（5分）
（2）當k＞0時，若函數(shù)f（x）的圖象是軸對稱圖形，且對稱軸是直線x=m，則函數(shù)f（m+x）是偶函數(shù)，即對任意實數(shù)x，f（m-x）=f（m+x），…（1分）
故2^m-x+k•2^-（m-x）=2^m+x+k•2^-（m+x），化簡得（2^x-2^-x）（2^m-k•2^-m）=0，…（3分）
因為上式對任意x∈R成立，所以2^m-k•2^-m=0，m=

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2

log2k． …（4分）
所以，函數(shù)f（x）的圖象是軸對稱圖形，其對稱軸是直線x=

1

2

log2k． …（5分）
（3）由f（x）=h（x）得，(a-1)•2x-2-x-

4

3

a=0，
即(a-1)•22x-

4

3

a•2x-1=0，…（2分）
此方程有且只有一個實數(shù)解．
令t=2^x，則t＞0，問題轉(zhuǎn)化為：方程(a-1)t2-

4

3

at-1=0有且只有一個正數(shù)根．（3分）
①當a=1時，t=-

3

4

，不合題意．   …（4分）
②當a≠1時，
（i） 若△=0，則a=-3或

3

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，若a=-3，則t=

1

2

，符合題意；若a=

3

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，則t=-2，不合題意．                                     …（6分）
（ii） 若△＞0，則a＜-3或a＞

3

4

，由題意，方程有一個正根和一個負根，即

-1

a-1

＜0，解得a＞1．                                    …（7分）
綜上，實數(shù)a的取值范圍是{-3}∪（1，+∞）．   …（8分）

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷以及指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應用，綜合性較強，涉及的知識點較多．