已知函數(shù)f(x)=2x+k•2-x(x∈R).
(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性,并說明理由;
(2)設(shè)k>0,問函數(shù)f(x)的圖象是否關(guān)于某直線x=m成軸對(duì)稱圖形,如果是,求出m的值;如果不是,請(qǐng)說明理由;(可利用真命題:“函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于某直線x=m成軸對(duì)稱圖形”的充要條件為“函數(shù)g(m+x)是偶函數(shù)”)
(3)設(shè)k=-1,函數(shù)h(x)=a•2x-21-x-
4
3
a,若函數(shù)f(x)與h(x)的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
考點(diǎn):函數(shù)奇偶性的判斷,必要條件、充分條件與充要條件的判斷
專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析:(1)根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷函數(shù)f(x)的奇偶性;
(2)個(gè)別化函數(shù)圖象對(duì)稱的定義進(jìn)行證明;
(3)根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得到結(jié)論.
解答: 解:(1)f(-x)=2-x+k•2x,
若f(x)是偶函數(shù),則f(-x)=f(x),即2-x+k•2x=2x+k•2-x,…(1分)
所以(k-1)(2x-2-x)=0對(duì)任意實(shí)數(shù)x成立,所以k=1;   …(2分)
若f(x)是奇函數(shù),則f(-x)=-f(x),即2-x+k•2x=-2x-k•2-x,…(3分)
所以(k+1)(2x+2-x)=0對(duì)任意實(shí)數(shù)x成立,所以k=-1.  …(4分)
綜上,當(dāng)k=1時(shí),f(x)是偶函數(shù);當(dāng)k=-1時(shí),f(x)是奇函數(shù);當(dāng)k≠±1時(shí),f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).     …(5分)
(2)當(dāng)k>0時(shí),若函數(shù)f(x)的圖象是軸對(duì)稱圖形,且對(duì)稱軸是直線x=m,則函數(shù)f(m+x)是偶函數(shù),即對(duì)任意實(shí)數(shù)x,f(m-x)=f(m+x),…(1分)
故2m-x+k•2-(m-x)=2m+x+k•2-(m+x),化簡(jiǎn)得(2x-2-x)(2m-k•2-m)=0,…(3分)
因?yàn)樯鲜綄?duì)任意x∈R成立,所以2m-k•2-m=0,m=
1
2
log2k
. …(4分)
所以,函數(shù)f(x)的圖象是軸對(duì)稱圖形,其對(duì)稱軸是直線x=
1
2
log2k
. …(5分)
(3)由f(x)=h(x)得,(a-1)•2x-2-x-
4
3
a=0
,
(a-1)•22x-
4
3
a•2x-1=0
,…(2分)
此方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解.
令t=2x,則t>0,問題轉(zhuǎn)化為:方程(a-1)t2-
4
3
at-1=0
有且只有一個(gè)正數(shù)根.(3分)
①當(dāng)a=1時(shí),t=-
3
4
,不合題意.   …(4分)
②當(dāng)a≠1時(shí),
(i) 若△=0,則a=-3或
3
4
,若a=-3,則t=
1
2
,符合題意;若a=
3
4
,則t=-2,不合題意.                                     …(6分)
(ii) 若△>0,則a<-3或a>
3
4
,由題意,方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根,即
-1
a-1
<0
,解得a>1.                                    …(7分)
綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍是{-3}∪(1,+∞).   …(8分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷以及指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用,綜合性較強(qiáng),涉及的知識(shí)點(diǎn)較多.
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π
4
π
3
)
上單調(diào)遞增,在(
π
3
π
2
)
上單調(diào)遞減,則f(-
3
)
等于(  )
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1
2
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