Question

12．如圖所示，在三棱錐ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC為邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，點(diǎn)A₁在平面ABC內(nèi)的射影為△ABC的中心．
（1）求證：BC⊥BB₁；
（2）若AA₁與底面ABC所成角為60°，P為CC₁的中點(diǎn)，求二面角B₁-PA-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）點(diǎn)A₁在底面△ABC內(nèi)的射影為O，連結(jié)A₁O，取BC的中點(diǎn)E，連結(jié)AE，推導(dǎo)出A₁O⊥BC，AE⊥BC，從而B(niǎo)C⊥面A₁AO，進(jìn)而B(niǎo)C⊥AA₁，由此能證明BC⊥BB₁．
（2）由（1）得A₁O，AO，BC兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角B₁-PA-C的余弦值．

解答 證明：（1）點(diǎn)A₁在底面△ABC內(nèi)的射影為O，連結(jié)A₁O，
取BC的中點(diǎn)E，連結(jié)AE，
∵A₁O⊥面ABC，BC?面ABC，∴A₁O⊥BC，
又∵AE⊥BC，AE∩A₁O=O，∴BC⊥面A₁AO，
∵AA₁?面A₁AO，∴BC⊥AA₁，
∵AA₁∥BB₁，∴BC⊥BB₁．
解：（2）由（1）得A₁O，AO，BC兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
∵A₁O⊥面ABC，∴∠A₁AO為AA₁與底面ABC所成角，
∵AB=6，∴$AO=\frac{\sqrt{3}}{3}×6=2\sqrt{3}$，$OE=\sqrt{3}$，
由$\frac{{A}_{1}O}{AO}=\sqrt{3}$，得A₁O=6，
∴A（2$\sqrt{3}$，0，0），B（-$\sqrt{3}$，3，0），C（$-\sqrt{3}，-3，0$），A₁（0，0，6），
由$\overrightarrow{C{C}_{1}}$=$\overrightarrow{A{A}_{1}}$，得C₁（-3$\sqrt{3}$，-3，6），
由$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=$\overrightarrow{A{A}_{1}}$，得B₁（$-3\sqrt{3}，6，3$），∴P（-2$\sqrt{3}$，-3，3），
$\overrightarrow{AP}$=（-4$\sqrt{3}$，-3，3），$\overrightarrow{P{B}_{1}}$=（-$\sqrt{3}，6，3$），$\overrightarrow{AC}$=（-3$\sqrt{3}$，-3，0），
設(shè)平面PAB₁的一個(gè)法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=-4\sqrt{3}x-3y+3z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{P{B}_{1}}=-\sqrt{3}x+6y+3z=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，-1，3$），
設(shè)平面PAC的一個(gè)法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AP}=-4\sqrt{3}a-3b+3c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=-3\sqrt{3}a-3b=0}\end{array}\right.$，取a=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}，-3，1$），
設(shè)二面角B₁-PA-C的平面角為θ，由圖知θ為鈍角，
則cosθ=-$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=-$\frac{9}{13}$．
∴二面角B₁-PA-C的余弦值為-$\frac{9}{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．