3.已知函數(shù)f(x)=ax2-2ax+2+a(a<0),若f(x)在區(qū)間[2,3]上有最大值1.
(1)求a的值;
(2)若g(x)=f(x)-mx在[2,4]上單調(diào),求數(shù)m的取值范圍.

分析 (1)根據(jù)函數(shù)的開口方向和對稱軸,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而求出函數(shù)的最大值是f(2)=1,求出a的值即可;
(2)求出f(x)的解析式,求出g(x)的表達(dá)式,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出m的范圍即可.

解答 解:(1)因為函數(shù)的圖象是拋物線,a<0,
所以開口向下,對稱軸是直線x=1,
所以函數(shù)f(x)在[2,3]單調(diào)遞減,
所以當(dāng)x=2時,ymax=f(2)=2+a=1,
∴a=-1-----------------------(5分)
(2)因為a=-1,∴f(x)=-x2+2x+1,
所以g(x)=f(x)-mx=-x2+(2-m)x+1,
$g(x)的圖象開口向下,對稱軸為直線x=\frac{2-m}{2}$,
∵g(x)在[2,4]上單調(diào),
∴$\frac{2-m}{2}≤2,或\frac{2-m}{2}≥4$,
從而m≤-6,或m≥-2
所以,m的取值范圍是(-∞,-6]∪[-2,+∞)----------------------------------------------------(10分),

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì),考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題,是一道中檔題.

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