Question

如圖中，圖一的是一個長方體截去一個角所得多面體的直觀圖，它的正視圖和側(cè)視圖在如圖二畫出（單位：cm），P為原長方體上底面A₁B₁C₁D₁的中心．
（1）在正視圖下面，按照畫三視圖的要求畫出該多面體的俯視圖（直尺作圖）；
（2）以D為原點建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系（右手系），在圖中標(biāo)出坐標(biāo)軸，并按照給出的尺寸寫出點E，P的坐標(biāo)；
（3）連接AP，證明：AP∥面EFG．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,簡單空間圖形的三視圖

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）通過幾何體的結(jié)構(gòu)特征畫出在正視圖下面，按照畫三視圖的要求畫出該多面體的俯視圖（直尺作圖）；
（2）以D為原點建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系（右手系），在圖中標(biāo)出坐標(biāo)軸，并按照給出的尺寸直接寫出點E，P的坐標(biāo)；
（3）連接AB₁，AD₁，B₁D₁，證明GF∥面AB₁D₁，EF∥面AB₁D₁，利用平面與平面平行證明AP∥面EFG．

解答： （1）解：如圖二（徒手作圖不得分，尺寸不準(zhǔn)確酌情給分）…（4分）
（2）解：建立如圖一直角坐標(biāo)系

E（4，0，2）P（2，3，4）…（8分）
（3）證明：連接AB₁，AD₁，B₁D₁，依題意知：E，F(xiàn)，G分別為原長方體所在棱中點，
∵GF∥B₁D₁，GF?面AB₁D₁
∴GF∥面AB₁D₁
∵EF∥AB₁，EF?面AB₁D₁
∴EF∥面AB₁D₁
又GF∩EF=F
∴面EFG∥面AB₁D₁
又∵AP?面AB₁D₁
∴AP∥面EFG…（12分）

點評：本題考查空間幾何體的三視圖，以及空間點的坐標(biāo)的求法，直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用，空間想象能力以及邏輯推理能力．