Question

已知函數(shù)f（x）=a-

2

2x+1

，g（x）=

1

f(x)-a

．
（1）若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，求a的值；
（2）若關(guān)于x的方程g（2x）-a•g（x）=0有唯一的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)得：f（0）=0，代入解析式列方程，再求實(shí)數(shù)a的值；
（2）由題意先求出g（x）的解析式，代入方程進(jìn)行化簡(jiǎn)得：2^2x-a•2^x+1-a=0，利用換元法轉(zhuǎn)化已知的方程，根據(jù)二次函數(shù)根的分布問(wèn)題，列出不等式組求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）由題意知，f（x）是定義域?yàn)镽上的奇函數(shù)，
所以f（0）=0，即a-

2

20+1

=0，解得a=1；
（2）因?yàn)閒（x）=a-

2

2x+1

，所以g（x）=

1

f(x)-a

=-

2x+1

2

，
將方程g（2x）-a•g（x）=0化為：-

22x+1

2

+a×

2x+1

2

=0，
化簡(jiǎn)得2^2x-a•2^x+1-a=0，
設(shè)t=2^x，則t＞0，代入上式得t²-at+1-a=0，
因?yàn)殛P(guān)于x的方程g（2x）-a•g（x）=0有唯一的實(shí)數(shù)解，
所以關(guān)于t的方程t²-at+1-a=0有唯一的正實(shí)數(shù)解，
則1-a＜0或

△=a2-4(1-a)=0 - -a 2×1 ＞0

，解得a＞1或a＞2(

2

-1)，
所以實(shí)數(shù)a的取值范是（2(

2

-1)，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，二次函數(shù)根的分布問(wèn)題，以及有關(guān)方程根的轉(zhuǎn)化問(wèn)題，考查換元法和轉(zhuǎn)化思想．