Question

4．已知直角梯形ABCP如圖①所示，其中∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=AD=CD=PD；現(xiàn)沿AD進行翻折，使得PD⊥DC，得到如圖②所示的多面體ABCDPE，其中PD∥2EC，PD=2EC，PF=BF．

（1）求證：PD⊥EF；
（2）若PD=4，求多面體ABCDPE的體積．

Answer 1

分析 （1）連接AC與BD交于點F′，則F′為BD的中點，連接FF′，證明AC⊥PD，F(xiàn)E∥AC，即可證明PD⊥EF；
（2）若PD=4，利用分割法求多面體ABCDPE的體積．

解答 （1）證明：連接AC與BD交于點F′，則F′為BD的中點，連接FF′，
∵PF=BF，DF′=BF′，
∴FF′∥PD∥EC．
∵$EC=\frac{1}{2}PD$，F(xiàn)F′=$\frac{1}{2}PD$，
∴FF′=EC，
∴FF′CE為平行四邊形，
∴FE∥F′C，
∴FE∥AC．
∵PD⊥AD，PD⊥DC，AD∩DC=D，
∴PD⊥平面ABCD．
∵AC?平面ABCD，
∴AC⊥PD，
∵FE∥AC，
∴FE⊥PD．
（2）解：由題意，V_ABCDPE=V_P-ABD+V_B-CEPD=$\frac{1}{3}×4×（\frac{1}{2}×4×4）$+$\frac{1}{3}×4×[\frac{1}{2}（2+4）×4]$=$\frac{32}{3}+\frac{48}{3}$=$\frac{80}{3}$．

點評 本題考查線面垂直，線線垂直，考查體積的計算，考查學生分析解決問題的能力，難度中等．