Question

4．設(shè)函數(shù)f（x）=1nx+$\frac{a}{{x}^{2}}$．
（1）求函數(shù)f（x）在x=1時(shí)的切線方程及函數(shù)f（x）的單凋區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f′（1），f（1），求出切線方程即可，通過(guò)討論a的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可．

解答 解：（1）f（x）=1nx+$\frac{a}{{x}^{2}}$，（x＞0），
f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{2a}{{x}^{3}}$=$\frac{{x}^{2}-2a}{{x}^{3}}$，
f′（1）=1-2a，f（1）=a，
故切線方程是：y-a=（1-2a）（x-1），
即y=（1-2a）x+3a-1；
a≤0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）遞增，
a＞0時(shí)，令f′（x）＞0，解得：x＞$\sqrt{a}$，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\sqrt{a}$，
∴f（x）在（0，$\sqrt{a}$）遞減，在（$\sqrt{a}$，+∞）遞增；
（2）f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{2a}{{x}^{3}}$=$\frac{{x}^{2}-2a}{{x}^{3}}$，
a≤0時(shí)，f（x）在（0，+∞）遞增，
x→0時(shí)，f（x）→-∞，x→+∞時(shí)，f（x）→+∞，
故函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)，
a＞0時(shí)，f（x）的最小值是f（$\sqrt{a}$）=ln$\sqrt{a}$+1，
令ln$\sqrt{a}$+1=0，解得：a=$\frac{1}{{e}^{2}}$，
a＞$\frac{1}{{e}^{2}}$時(shí)，f（x）_min＞0，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，
a=$\frac{1}{{e}^{2}}$時(shí)，f（x）_min=0，函數(shù)1個(gè)零點(diǎn)，
a＜$\frac{1}{{e}^{2}}$時(shí)，f（x）_min＜0，函數(shù)2個(gè)零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線方程問(wèn)題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類(lèi)討論思想，是一道中檔題．