Question

15．如圖，某小區(qū)進行綠化改造，計劃圍出一塊三角形綠地ABC，其中一邊利用現(xiàn)成的圍墻BC，長度為a米，另外兩邊AB，AC使用某種新型材料，∠BAC=120°，設(shè)AB=x米，AC=y米．
（1）求x，y滿足的關(guān)系式；
（2）若無論如何設(shè)計上述三角形綠地確保此材料都夠用，則至少需準備長度為多少的此種新型材料？

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理得出x，y的關(guān)系；
（2）利用正弦定理將x，y表示為B的函數(shù)，求出x+y的最大值即可．

解答 解：（1）由余弦定理得BC²=AC²+AB²-2AB•ACcosA，
即a²=x²+y²+xy，
∴x，y滿足的關(guān)系式為x²+y²+xy=a²．
（2）∵A=120°，∴C=60°-B．
由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{x}{sinC}=\frac{y}{sinB}$，
∴x=$\frac{2\sqrt{3}a}{3}sin$（60°-B）=acosB-$\frac{\sqrt{3}}{3}$asinB，y=$\frac{2\sqrt{3}a}{3}sinB$．
∴x+y=acosB+$\frac{\sqrt{3}}{3}a$sinB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB+$\frac{1}{2}$sinB）=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$asin（B+60°）．
∵0°＜B＜60°，∴60°＜B+60°＜120°，
∴當B+60°=90°時，x+y取得最大值$\frac{2\sqrt{3}}{3}a$．
∴至少需準備長度為$\frac{2\sqrt{3}}{3}a$的此種新型材料才能確保無論如何設(shè)計都能夠用．

點評 本題考查了正弦定理，余弦定理，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．