如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,A1C1的中點(diǎn)為O1,AB=BC=2,AA1=3,求異面直線BO1與A1D1所成角的余弦值.
考點(diǎn):異面直線及其所成的角
專(zhuān)題:計(jì)算題,空間角,空間向量及應(yīng)用
分析:連接BA1,BC1,由于A1C1的中點(diǎn)為O1,運(yùn)用中點(diǎn)的向量表示形式,由向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì),向量的平方即為模的平方,以及向量的夾角公式,即可求得所成的角.
解答: 解:連接BA1,BC1
由于A1C1的中點(diǎn)為O1,
則有
BO1
=
1
2
BA1
+
BC1
)=
1
2
AA1
-
AB
+
CC1
-
CB

=
1
2
AA1
-
AB
+
AA1
+
AD

=
1
2
(2
AA1
-
AB
+
AD

A1D1
BO1
=
1
2
AD
•(2
AA1
-
AB
+
AD

=
AD
AA1
-
1
2
AD
AB
+
1
2
AD
2

=0-0+
1
2
×4
=2,
|
BO1
|=
1
2
4
AA1
2
+
AB
2
+
AD
2

=
1
2
32+22+22
=
11

則有cos<
A1D1
,
BO1
>=
A1D1
BO1
|
A1D1
|•|
BO1
|

=
2
11
=
11
11

則異面直線BO1與A1D1所成角的余弦值為
11
11
點(diǎn)評(píng):本題考查異面直線所成的角的求法,考查運(yùn)用空間向量的方法求異面直線所成的角,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.
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1
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A、[
2
3
,+∞)
B、(
2
3
,+∞)
C、[
2
3
,1)∪(1,+∞)
D、(
2
3
,1)∪(1,+∞)

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(2)定義:若存在圓M使得曲線f(x,y)=0上的每一點(diǎn)都落在圓M外或圓M上,則稱圓M為該曲線的收斂圓,判斷曲線f(x,y)=0是否存在收斂圓?若存在,求出其方程;若不存在,說(shuō)明理由.

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