Question

14．已知方程$\frac{{x}^{2}}{4-t}$+$\frac{{y}^{2}}{t-1}$=1表示的曲線為C，給出以下四個判斷：
①當1＜t＜4時，曲線C表示橢圓；
②當t＞4或t＜1時曲線C表示雙曲線；
③若曲線C表示焦點在x軸上的橢圓，則1＜t＜$\frac{5}{2}$；
④若曲線C表示焦點在x軸上的雙曲線，則t＞4，
其中判斷正確的個數是（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 利用橢圓、雙曲線的定義，結合標準方程，即可得出結論．

解答 解：由4-t=t-1，可得t=$\frac{5}{2}$，方程$\frac{{x}^{2}}{4-t}$+$\frac{{y}^{2}}{t-1}$=1表示圓，故①不正確；
由雙曲線的定義可知：當（4-t）（t-1）＜0時，即t＜1或t＞4時方程$\frac{{x}^{2}}{4-t}$+$\frac{{y}^{2}}{t-1}$=1示雙曲線，故②正確；
由橢圓定義可知：當橢圓在x軸上時，滿足4-t＞t-1＞0，即1＜t＜$\frac{5}{2}$時方程$\frac{{x}^{2}}{4-t}$+$\frac{{y}^{2}}{t-1}$=1表示焦點在x軸上的橢圓，故③正確．
若曲線C表示焦點在x軸上的雙曲線，則$\left\{\begin{array}{l}{4-t＞0}\\{t-1＜0}\end{array}\right.$，∴t＜1，故④不正確，
故選：B．

點評 本題考查了圓錐曲線的標準方程，尤其要注意橢圓在x軸和y軸上兩種情況，屬于基礎題．