16.在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,A=60°,a=3.
(1)若b=2,求cosB;
(2)求△ABC的面積的最大值.

分析 (1)由已知利用正弦定理可求sinB的值,利用大邊對(duì)大角可求B為銳角,利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求得cosB的值.
(2)由已知及余弦定理,基本不等式可求bc≤9,利用三角形面積公式可求△ABC的面積的最大值.

解答 (本題滿分為12分)
解:(1)∵$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$,∴$sinB=\frac{bsinA}{a}$=$\frac{2×\frac{\sqrt{3}}{2}}{3}$,可得,$sinB=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$…(3分)
又∵a>b,
∴A>B,可得B為銳角,
∴$cosB=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$.…(6分)
(2)${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{{\sqrt{3}}}{4}bc$,
∵$cosA=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}$,
∴bc=b2+c2-9≥2bc-9,…(9分)
∴得bc≤9,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立,
∴故S△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA≤$\frac{1}{2}×$9×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{{9\sqrt{3}}}{4}$,即△ABC的面積的最大值為$\frac{{9\sqrt{3}}}{4}$.…(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理,大邊對(duì)大角,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式,余弦定理,基本不等式,三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用,考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.

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