Question

已知函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上的減函數(shù)，對任意的x，y∈（0，+∞），都有f（x+y）=f（x）+f（y）-1，且f（4）=5．
（1）求f（2）的值；
（2）解不等式f（m-2）≤3．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由條件令x=y=2，由f（4）=5，即可得到f（2）；
（2））不等式f（m-2）≤3即為f（m-2）≤f（2），由函數(shù)的單調(diào)性即可得到m-2＞0，且m-2≥2，解出即可．

解答： 解：（1）∵對任意的x，y∈（0，+∞），都有f（x+y）=f（x）+f（y）-1，
∴令x=y=2，則f（4）=2f（2）-1，
∵f（4）=5，∴f（2）=3；
（2）不等式f（m-2）≤3即為f（m-2）≤f（2），
∵函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上的減函數(shù)，
∴m-2＞0，且m-2≥2，
∴m≥4．
∴不等式的解集為[4，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查抽象函數(shù)及應(yīng)用，考查函數(shù)的單調(diào)性及運(yùn)用，考查解決抽象函數(shù)的常用方法：賦值法，屬于基礎(chǔ)題．