Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線方程為2x+y=0，且頂點(diǎn)到漸近線的距離為

2 5

5

．  
（1）求此雙曲線的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P為雙曲線上一點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，且分別位于第一、第二象限，若

AP

=

PB

，求△AOP的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用雙曲線漸近線方程為2x+y=0，且頂點(diǎn)到漸近線的距離為

2 5

5

，求出a，b，即可求此雙曲線的方程；
（2）由A（m，2m），B（-n，2n），根據(jù)

AP

=

PB

，得P點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線方程化簡(jiǎn)整理m，n的關(guān)系式；設(shè)∠AOB=2θ，進(jìn)而根據(jù)直線的斜率求得tanθ，進(jìn)而求得sin2θ，進(jìn)而表示出|OA|，得到△AOB的面積的表達(dá)式，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）∵一條漸近線方程為2x+y=0，且頂點(diǎn)到漸近線的距離為

2 5

5

，
∴

|2a|

5

=

2 5

5

，
∴a=1，
∵

b

a

=2，
∴b=2，
∴雙曲線的方程為x2-

y2

4

=1；
（2）由（1）知雙曲線C的兩條漸近線方程為y=±2x．
設(shè)A（m，2m），B（-n，2n），m＞0，n＞0．
∵

AP

=

PB

，
∴P（

m-n

2

，m+n），
代入x2-

y2

4

=1化簡(jiǎn)得，mn=1，
設(shè)∠AOB=2θ，則tanθ=2，所以sin2θ=

4

5

，
又|OA|=

5

m，|OB|=

5

n，
所以S_△AOB=

1

2

|OA||OB|sin2θ=2mn=2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．考查了學(xué)生綜合分析問(wèn)題的能力，屬于中檔題．