Question

10．如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，側棱PA⊥底面ABCD，且PA=AD=2，E，F(xiàn)，H分別是PA，PD，AB的中點．
（1）求直線AH與平面EFH所成角的大小；
（2）求二面角H-EF-A的大小．

Answer 1

分析 （1）以{$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{AP}$}為正交基底向量建立空間直角坐標系A-xyz，利用向量法能求出直線AH與平面EFH所成角的大�。�
（2）求出平面HEF的一個法向量和平面AEF的一個法向量，利用向量法能求出二面角H-EF-A的大�。�

解答 解：（1）以{$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{AP}$}為正交基底向量建立空間直角坐標系A-xyz，
則A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），
P（0，0，2），E（0，0，1），F(xiàn)（0，1，1），H（1，0，0），
$\overrightarrow{AH}$=（1，0，0），$\overrightarrow{EF}$=（0，1，0），$\overrightarrow{EH}$=（1，0，-1），
設平面EFH的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EF}=y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EH}=x-z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，0，1），
設直線AH與平面EFH所成角為α，
則sinα=|cos＜$\overrightarrow{AH}，\overrightarrow{m}$＞|=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴直線AH與平面EFH所成角的大小為$\frac{π}{4}$．
（2）由（1）知平面HEF的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=（1，0，1），
平面AEF的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵二面角H-EF-A為銳二面角，∴二面角H-EF-A的大小為$\frac{π}{4}$．

點評 本題考查線面角的求法，考查二面角的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．