Question

2．已知ABCD-A₁B₁C₁D₁為正方體，則二面角B-A₁C₁-A的余弦值為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由此能求出二面角B-A₁C₁-A的余弦值．

解答 解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，
則A（1，0，0），A₁（1，0，1），B（1，1，0），C₁（0，1，1），
$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$=（-1，1，0），$\overrightarrow{{A}_{1}A}$=（0，0，-1），$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（0，1，-1），
設(shè)平面A₁C₁A的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}=-x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}A}=-z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，0），
設(shè)平面A₁C₁B的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}=-a+b=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{A}_{1}B}=b-c=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，1，1），
設(shè)二面角B-A₁C₁-A的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{2}•\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴二面角B-A₁C₁-A的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．