如圖,四邊形是正方形,
平面
,
,
,
,
,
分別為
,
,
的中點(diǎn).
(1)求證:平面
;
(2)求平面與平面
所成銳二面角的大小.
(1)證明詳見(jiàn)解答;(2)(或
).
【解析】(1)有單僥幸的中位線定理可證FG∥PE,再根據(jù)直線與平面平行的判定定理求證結(jié)論即可.
(2)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,寫出點(diǎn)的坐標(biāo),求出相應(yīng)向量的的坐標(biāo).然后分別出平面和平面
的一個(gè)法向量,最后根據(jù)向量的夾角公式求得二面角的平面角大小.
試題分析:
試題解析:(1)證明:,
分別為
,
的中點(diǎn),
. 1分
又平面
,
平面
, 3分
平面
. 5分
(2)解:平面
,
,
平面
平面
,
.
四邊形
是正方形,
.
以為原點(diǎn),分別以直線
為
軸,
軸,
軸
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè) 7分
,
,
,
,
,
,
,
,
.
,
,
分別為
,
,
的中點(diǎn),
,
,
,
,
8分
(解法一)設(shè)為平面
的一個(gè)法向量,則
,
即,令
,得
. 10分
設(shè)為平面
的一個(gè)法向量,則
,
即,令
,得
. 12分
所以=
=
. 13分
所以平面與平面
所成銳二面角的大小為
(或
). 14分
(解法二) ,
,
是平面
一個(gè)法向量. 10分
,
,
是平面平面
一個(gè)法向量. 12分
13分
平面
與平面
所成銳二面角的大小為
(或
). 14分
(解法三) 延長(zhǎng)到
使得
連
,
,
四邊形
是平行四邊形,
四邊形
是正方形,
,
分別為
,
的中點(diǎn),
平面
,
平面
,
平面
. 7分
平面
平面
平面
9分
故平面與平面
所成銳二面角與二面角
相等. 10分
平面
平面
平面
是二面角
的平面角. 12分
13分
平面
與平面
所成銳二面角的大小為
(或
). 14分
考點(diǎn):1.直線與平面的平行的判定;(2)直線與平面垂直的性質(zhì),(3)向量的坐標(biāo)運(yùn)算及其夾角.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2015屆福建省漳州市康橋?qū)W校高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
如圖,四邊形是正方形,
為對(duì)角線
和
的交點(diǎn),
,
為
的中點(diǎn);
(1)求證:;
(2)求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2012-2013學(xué)年云南省昆明市高三復(fù)習(xí)適應(yīng)性檢測(cè)理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
如圖,四邊形是正方形,
,
,
,
.
(Ⅰ)求證:平面平面
;
(Ⅱ)若與
所成的角為
,求二面角
的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2012-2013學(xué)年云南省昆明市高三復(fù)習(xí)適應(yīng)性檢測(cè)文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
如圖,四邊形是正方形,
,
,
,
(Ⅰ)求證:平面平面
;
(Ⅱ)求三棱錐的高
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