Question

7．已知f（x）是定義在D上的函數(shù)，若f（x）滿足：（1）對任意x∈D及任意正實數(shù)t，若x+t∈D，都有f（x+t）≥f（x）；（2）存在正實數(shù)M，使得|f（x）|≤M，則稱f（x）為“單限行函數(shù)”，滿足|f（x）|≤M的最小正數(shù)M叫f（x）的“單限峰值”給出下列結(jié)論：
①f（x）=2016（x∈[-1，2]）是“單限行函數(shù)”；
②f（x）=xsinx+cosx（x∈[0，$\frac{π}{2}$]）是“單限行函數(shù)”，且“單限峰值”為1；
③若f（x）=x³-12x（x∈[m，m+2]）是“單限行函數(shù)”，則-4＜m＜2；
④f（x）是定義在D上的“單限行函數(shù)”，若f（x₁）=f（x₂），則x₁=x₂
其中正確結(jié)論的個數(shù)為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根據(jù)“單限行函數(shù)”的定義分別判斷函數(shù)的單調(diào)性和最值即可得到結(jié)論．

解答 解：①若f（x）=2016（x∈[-1，2]），
則f（x+t）=f（x）=2016，則f（x+t）≥f（x）恒成立；且|f（x）|=2016，且當M≥2016時，|f（x）|≤M成立，則f（x）是“單限行函數(shù)”；故①正確，
②f（x）=xsinx+cosx（x∈[0，$\frac{π}{2}$]），
則f′（x）=sinx+xcosx-sinx=xsinx≥0，則函數(shù)f（x）為增函數(shù)，
則f（x+t）≥f（x）恒成立，
f（0）=1，f（$\frac{π}{2}$）=$\frac{π}{2}$，則|f（x）|≤$\frac{π}{2}$，即函數(shù)f（x）是“單限行函數(shù)”，且“單限峰值”為$\frac{π}{2}$，故②錯誤；
③f′（x）=3x²-12=3（x²-4），
由f′（x）＞0得x＞2或x＜-2，由f′（x）＜0得-2＜x＜2，
當m=2時，函數(shù)f（x）在[2，4]上增函數(shù)，滿足f（x+t）≥f（x），
此時函數(shù)的最小值為f（2）=-16，最大值f（2）=16，則|f（x）|≤16，
m=2時，f（x）=x³-12x（x∈[2，4]）是“單限行函數(shù)”，則-4＜m＜2錯誤；故③錯誤，
④f（x）是定義在D上的“單限行函數(shù)”，若f（x₁）=f（x₂），則x₁=x₂，不一定成立，比如①f（x）=2016（x∈[-1，2]），故④錯誤，
故選：A

點評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及函數(shù)的單調(diào)性和最值的判斷，正確理解新定義是解決本題的關(guān)鍵．