Question

18．已知函數(shù)g（x）=-$\frac{1}{2}$x²-x+2，x∈[a，a+1]，求g（x）的最大值h（a）．

Answer 1

分析 把二次函數(shù)配方，然后對a分類討論，利用函數(shù)的單調(diào)性求得g（x）的最大值h（a）．

解答 解：g（x）=-$\frac{1}{2}$x²-x+2=$-\frac{1}{2}（x+1）^{2}+\frac{5}{2}$，
當(dāng)a≥-1時，g（x）在[a，a+1]上單調(diào)遞減，g（x）_max=g（a）=$-\frac{{a}^{2}}{2}-a+2$；
當(dāng)a+1≤-1，即a≤-2時，g（x）在[a，a+1]上單調(diào)遞增，g（x）_max=g（a+1）=$-\frac{{a}^{2}}{2}-2a+\frac{1}{2}$；
當(dāng)-2＜a＜-1時，g（x）在[a，-1]上單調(diào)遞增，在[-1，a]上單調(diào)遞減，$g（x）_{max}=g（-1）=\frac{5}{2}$．
∴$h（a）=\left\{\begin{array}{l}{-\frac{{a}^{2}}{2}-2a+\frac{1}{2}，a≤-2}\\{\frac{5}{2}，-2＜a＜-1}\\{-\frac{{a}^{2}}{2}-a+2，a≥-1}\end{array}\right.$．

點評 本題考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．