Question

6．已知O，N，P在△ABC所在平面內(nèi)，且|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|，$\overrightarrow{NA}$+$\overrightarrow{NB}$+$\overrightarrow{NC}$=$\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{PA}$，則點(diǎn)O，N，P依次是△ABC的（　�。�

• A． 重心，外心，垂心
• B． 重心，外心，內(nèi)心
• C． 外心，重心，垂心
• D． 外心，重心，內(nèi)心

Answer 1

分析 據(jù)O到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，得到O是三角形的外心，以NA，NB為鄰邊作平行四邊形即可推出N在三角形的中線上，得出N為三角形的重心，將第三個(gè)條件兩兩相減，即可得到PA，PB，PC分別為三角形的高線，即P是三角形的垂心．

解答 解：（1）∵|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|，∴OA=OB=OC，
∴O是△ABC的外心．
（2）以NA，NB為鄰邊作平行四邊形NADB，AB，ND交于點(diǎn)E，
則$\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NB}=\overrightarrow{ND}=2\overrightarrow{NE}$，E是AB的中點(diǎn)．
∵$\overrightarrow{NA}$+$\overrightarrow{NB}$+$\overrightarrow{NC}$=$\overrightarrow{0}$，∴$\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NB}=-\overrightarrow{NC}$，∴2$\overrightarrow{NE}$=$\overrightarrow{NC}$．
∴C，N，E三點(diǎn)共線，∴N在△ABC的邊AB的中線上，
同理可得N在△ABC的另兩邊的中線上，
∴N為三角形ABC的重心．
（3）∵$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$，∴$\overrightarrow{PB}•$（$\overrightarrow{PA}-\overrightarrow{PC}$）=0，即$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{AC}=0$，
∴PB⊥AC，
同理可證PA⊥BC，PC⊥AB，
∴P是△ABC的垂心．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則、三角形五心等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．