Question

6．已知正四面體的棱長為a．
（1）求正四面體的高；
（2）求正四面體內(nèi)切球的半徑和體積．

Answer 1

分析 （1）設(shè)正四面體為A-BCD，過D作DE⊥BC，交BC于E，作AH⊥底面BCD于點H，交DE于H，先求出DH，由此能求出正四面體的高AH．
（2）設(shè)正四面體內(nèi)切球的球心為O，半徑為r，O點與A、B、C、D相連得四個小三棱錐，設(shè)原三棱錐的底面積為S，則每個側(cè)面積均為S，由此能求出結(jié)果．

解答 解：（1）設(shè)正四面體為A-BCD，
過D作DE⊥BC，交BC于E，
作AH⊥底面BCD于點H，交DE于H，
則DE=$\sqrt{{a}^{2}-（\frac{a}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，DH=$\frac{2}{3}DE=\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{3}a$，
∴AH=$\sqrt{{a}^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{3}a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}a$．
∴正四面體的高為$\frac{\sqrt{6}}{3}a$．
（2）設(shè)正四面體內(nèi)切球的球心為O，半徑為r，
O點與A、B、C、D相連得四個小三棱錐，
設(shè)原三棱錐的底面積為S，則每個側(cè)面積均為S，
∴4×$\frac{1}{3}Sr$=$\frac{1}{3}S×AH$，
∴r=$\frac{1}{4}AH=\frac{\sqrt{6}}{12}a$，
∴正四面體內(nèi)切球的體積V=$\frac{4}{3}π{r}^{3}$=$\frac{\sqrt{6}}{216}π{a}^{3}$．

點評 本題考查正四面體的高、正四面體內(nèi)切球的半徑和體積的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．