Question

1．求下列各函數(shù)的最值．
（1）f（x）=$\frac{1}{2}$x+sin x，x∈[0，2π]；
（2）f（x）=x³-3x²+6x-2，x∈[-1，1]．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的在閉區(qū)間的單調(diào)性，根據(jù)極值和端點(diǎn)值，即可求出最值．
（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的在閉區(qū)間的單調(diào)性，根據(jù)端點(diǎn)值即可求出最值

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{1}{2}$x+sin x，x∈[0，2π]，
∴f′（x）=$\frac{1}{2}$+cosx，
令f′（x）=0，解得x=$\frac{2π}{3}$或x=$\frac{4π}{3}$
∴0≤x＜$\frac{2π}{3}$或$\frac{4π}{3}$＜x≤2π時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞減，$\frac{2π}{3}$＜x＜$\frac{4π}{3}$時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，
∵f（0）=0，f（$\frac{4π}{3}$）=$\frac{2π}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，f（$\frac{2π}{3}$）=$\frac{π}{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，f（2π）=π，
∴f（x）=$\frac{1}{2}$x+sin x，x∈[0，2π]的最大值為π，最小值為0；
（2）∵f（x）=x³-3x²+6x-2，x∈[-1，1]．
∴f′（x）=3x²-6x+6，
∵△=6²-4×3×6＜0，
∴f′（x）=3x²-6x+6＞0恒成立，
∴f（x）在[1-，1]上單調(diào)遞增，
∴f（x）_max=f（1）=2，f（x）_min=f（-1）=-12．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．