Question

19．在△ABC中，|$\overrightarrow{BC}$|=1，$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=2，點P為線段BC上的動點，則（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$）•$\overrightarrow{PB}$的最小值為（　�。�

• A． -$\frac{1}{4}$
• B． -$\frac{3}{4}$
• C． -$\frac{1}{2}$
• D． -$\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，結(jié)合|$\overrightarrow{BC}$|=1，$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=2，可得$\overrightarrow{BA}cos∠ABC=2$，設$|\overrightarrow{PB}|=t$，展開（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$）•$\overrightarrow{PB}$，化為含有t的函數(shù)式，再利用配方法求得最值．

解答 解：如圖，
（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$）•$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}+{\overrightarrow{PB}}^{2}+\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PB}$．
∵|$\overrightarrow{BC}$|=1，$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=2，
∴$\overrightarrow{BA}cos∠ABC=2$，設$|\overrightarrow{PB}|=t$，
則$|\overrightarrow{PC}|=1-t$，
∴（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$）•$\overrightarrow{PB}$=-2t+t²+t²-t（1-t）=3t²-3t
=$3（t-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{3}{4}$．
∴當t=$\frac{1}{2}$時，（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$）•$\overrightarrow{PB}$有最小值$-\frac{3}{4}$．
故選：B．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運算，考查數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，訓練了利用配方法求最值，是中檔題．