Question

11．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）長軸為4，離心率為$\frac{1}{2}$，點P為橢圓上異于頂點的任意一點，過點P作橢圓的切線l交y軸于點A，直線l′過點P且垂直于l交y軸于B，試判斷以AB為直徑的圓能否經(jīng)過定點，若能求出定點坐標，若不能說出理由．

Answer 1

分析 運用橢圓的離心率公式和a，b，c的關(guān)系，解方程可得a，b，進而得到橢圓方程，運用橢圓的切線方程，以及兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，可得直線l和l'的方程，求得A，B的坐標，運用向量垂直的條件：數(shù)量積為0，化簡整理，可得以AB為直徑的圓方程，運用恒過定點的方法即可得到所求定點．

解答 解：由長軸為4，離心率為$\frac{1}{2}$，
可得a=2，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，解得c=1，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
即有橢圓方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，
設(shè)P為（x₀，y₀），P為切點且P在橢圓上，
設(shè)l為$\frac{{{x_0}x}}{4}+\frac{{{y_0}y}}{3}=1$，
由l’與l是垂直，可得l'為$\frac{{y}_{0}x}{3}$-$\frac{{x}_{0}y}{4}$=1，
由直線l'過P（x₀，y₀）點代入，
可得$\frac{{{x_0}{y_0}}}{3}-\frac{{{x_0}{y_0}}}{4}=m$，
即$m=\frac{{{x_0}{y_0}}}{12}$，則l'為$\frac{{{y_0}x}}{3}-\frac{{{x_0}y}}{4}-m=0$，
在l中令x=0得$A（{0，\frac{3}{y_0}}）$，
在l'中令x=0得$B（{0，-\frac{y_0}{3}}）$
由AP⊥BP，可得$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=0$，
即有${x^2}+（{y-\frac{3}{y_0}}）（{y+\frac{y_0}{3}}）=0$，
化為${x^2}+{y^2}+（{\frac{y_0}{3}-\frac{3}{y_0}}）y-1=0$
假設(shè)過定點與P（x₀，y₀）無關(guān)，
令y=0，可得x²=1，即x=±1，
則以AB為直徑的圓經(jīng)過定點，定點為（1，0）或（-1，0）．

點評 本題考查橢圓方程的求法，注意運用離心率公式，考查兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，和數(shù)量積為0，考查圓的方程和恒過定點的求法，屬于中檔題．